Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

196 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAtj.(2) W 2n+1 = 2n2n + 1 W 2n−1 (n = 1, 2, . . .).S obzirom da je W 1 = 1, na osnovu (2), dobijamoW 2n+1 =(2n)(2n − 2) · · · 2(2n + 1)(2n − 1) · · ·3 = (2n)!!(2n + 1)!!(n = 0, 1, . . .).Ako funkciju f aproksimiramo sa(3) f(x) ∼ =to je10Xn=0a n x n ,(4)g(y) ∼ = √ 1 10X(2n + 1) a n W 2n+1 y nyn=0∼= √ 1 a 0 + 1 X10(2n)!!√ y y (2n − 1)!! a n y n .n=1Preostalo je da još nad¯emo koeficijente a n iz (3). Za njihovo odred¯ivanje ćemoiskoristićemo prvi Newtonov interpolacioni polinom (videti (1) u zadatku 6.1.22)sa korakom h = 0.1:Kako jef(x) ∼ 10x (10x − 1)= f(0) + 10x∆f(0) + ∆ 2 f(0) + · · ·2!10x (10x − 1) · · ·(10x − 9)+ ∆ 10 f(0).10!gde su S (k)n(10x) (n) = 10x (10x − 1) · · · (10x − n + 1) =Stirlingovi brojevi prve vrste, to jef(x) ∼ = f(0) +∼= f(0) +10Xn=110Xn=1(10x) (n)∆ n f(0)n!∆ n f(0)n!nXk=1nXk=1S (k)n (10x) k ,S (k)n (10x) k !.