Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

PROBLEM NAJBOLJIH APROKSIMACIJA 239Dalje, pokušajmo sa polinomom Q 2 (x) koji dobijamo iz razvoja (1) ,,ukidanjem‘‘T 5 , T 4 i T 3 , pri čemu je|P(x) − Q 2 (x)| ≤ 1 96 + 3120 + 11 > 0.05 (|x| ≤ 1).96Kako je, u ovom slučaju, granica greške od 0.05, prema našoj oceni, premašena,za traženi polinom ćemo uzeti(2)Q 3 (x) = 1120 (149 T 0 + 32 T 2 ) + 1 96 (76 T 1 + 11 T 3 )= 117120 + 4396 x + 8 15 x2 + 1124 x3 .Primetimo da polinom Q 3 , definisan u (2), predstavlja najbolju srednje-kvadratnuaproksimaciju sa Čebiševljevom težinskom funkcijom x ↦→ `1−x 2´−1/2 za polinomP(x) na segmentu [−1, 1], u skupu polinoma ne višeg stepena od tri (videti [2, str.106]).Primenimo, sada, postupak ekonomizacije na polinom P(x) uz korišćenje Legendreovihpolinoma x ↦→ P n (x) (n = 0, 1, . . .). Za Legendreove polinome važirekurentna relacijaP n+1 (x) = 1n + 1 [(2n + 1)x P n(x) − n P n−1 (x)] (n = 1,2, . . . ) ,na osnovu koje, s obzirom da jedobijamoa odavde jeP 0 = 1 , P 1 = x ,P 2 = 1 2`3x − 1´, P3 = 1 3`5x − 3x´, P4 = 1 4`35x − 30x2 + 3´,228P 5 = 1 8`63x5 − 70x3 + 15x´,1 = P 0 , x = P 1 , x 2 = 1 3 (2P 2 + P 0 ) , x 3 = 1 5 (2P 3 + 3P 1 ) ,x 4 = 1 35 (8P 4 + 20P 2 + 7P 0 ) , x 5 = 1 63 (8P 5 + 28P 3 + 27P 1 ) .Korišćenjem ovih formula, polinom P(x) se može predstaviti u obliku(3) P(x) = 259225 P 0 + 101140 P 1 + 106315 P 2 + 47270 P 3 + 8175 P 4 + 4189 P 5 .