Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

ANALIZA GREŠAKA, REKURZIVNA IZRAČUNAVANJA I SUMIRANJA 7U ovom slučaju kažemo da imamo mantisu sa n razreda.Proces odbacivanja cifara mantise u broju x, počev od cifre a n+1 , naziva seprosto odsecanje. Apsolutna greska pri ovome je(5) |e| ≤ b k−n .Apsolutna greska koja se čini pri zameni broja x brojem x, može se smanjiti akose koristi tzv. postupak zaokrugljivanja (zaokruživanja) brojeva. Taj postupak sesastoji u sledećem:1) Ako je a n+1 + a n+2 b −1 + · · · < 1 b koristi se prosto odsecanje;22) Ako je a n+1 + a n+2 b −1 + · · · > 1 2 b, cifra a n se povećava za jedinicu, a cifrea n+1 , a n+2 , . . . se odbacuju;i 2).3) Ako je a n+1 + a n+2 b −1 + · · · = 1 b ravnopravno se mogu koristiti pravila 1)2Na računski mašinama zaokrugljivanje se najčešće izvodi tako što se broju (kaorezultatu neke operacije) koji treba da se zaokruži, dodaje broj 1 2 bk−n , a zatim sevrši prosto odsecanje. Ovo znači da se u nerešenom slučaju 3) uvek a n zamenjujesa a n + 1 (pravilo 2)).Napomenimo da kod ručnog zaokrugljivanja brojeva u dekadnom sistemu (b =10), u nerešenom slučaju preporučuje sledeće pravilo: Ako je cifra a n paran brojkoristi se pravilo 1), a ako je neparan broj koristi se pravilo 2).Apsolutna greška kod zaokrugljivanja broja je(6) |e| ≤ 1 2 bk−n .S obzirom da je x = x ⋆ b k i b −1 ≤ |x ⋆ | < 1, imamo(7) |r| = |e||x| ≤ 12b k−n|x ⋆ |b k ≤ 12b k−nb −1 b k = 1 2 b−n+1 .Kod računara imamo b = 2, pa je |r| ≤ 2 −n = eps i naziva se mašinska preciznosts obzirom da zavisi od mašine tj. od prostora u memoriji mašine predvid¯enogza broj cifara mantise (n) normalizovanog zapisa broja u pokretnomzareazu, dok u slučaju b = 10 imamo |r| ≤ 1 2 10n−1 .Zadatkom se traži da se svaki od brojeva aproksimira odgovarajućim brojemsa četri značajne cifre. To možemo postići i tako što mantise datih brojeva, predstavljenihu normalizovanom obliku, svedemo na 4 cifre, bilo postupkom odsecanja,bilo postupkom zaokrugljivanja. Zaista, s obzirom da je, na osnovu (5) i