Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

NUMERIČKA INTEGRACIJA 301gde je 2nh = b − a iA = 1 sin 2kh+kh 2k 2 h 2 − 2sin2 khk 3 h 3 , B = 1 + cos2 kh sin 2khk 2 h 2 −k 3 h 3 ,C =4sin khk 3 h 3−4cos khk 2 h 2 ,S = −f(a) sin ka − f(b) sin kb + 2T =nXf(a + 2ih) sin(ka + 2ikh) ,i=0nXf (a + (2i − 1)h) sin (ka + (2i − 1)kh) .i=1Odgovarajuća greška se može predstaviti u obliku01gde je (a < ξ < b).R = h3 (b − a)12B@1 −116 cos kh 4CA sin kh 2 · f(4) (ξ),7.2.16. Odrediti koeficijente A, B, C i ostatak u kvadraturnoj formuli∫ b( ( a + b) )(1) f(x)dx = A f(a) + f + f(b) + Bf ′ (a) + Cf ′ (b) + R(f).2aPrimenom dobijene formule približno izračunati integral√1 + xdx i procenitigrešku.∫ 10Rešenje. Iz uslova R(f) = 0 za f(x) = 1, x, x 2 dobijamo sistem jednačina3A = b − a,„A a 2 +“A a + a + b2”+ b + B + C = 1 `b2 − a2´ ,2“ a + b” 2+ b2«+ 2 (Ba + Cb) = 1 `b3 − a3´ ,23odakle sledujeA = 1 3 (b − a) , B = −C = 1 24 (b − a)2 .S obzirom da jeR(x 3 )= 1 4`b4 −a4´ − 1 3 (b − a) „a 3 +“ a + b” «+ b 3 + 1 2 8 (b − a)2`b 2 −a 2´ = 0