Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

182 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAgde su sve decimale tačne.Izračunajmo sada približno sin 6 ◦ na osnovu drugog Newtonovog interpolacionogpolinoma. S obzirom da je∇f k = f k − f k−1 = ∆f k−1 = ∆E −1 f k ,gde je E operator pomeranja, zaključujemo da je∇ = ∆E −1 ,a kako su operatori konačne razlike komutativni, sleduje(5) ∇ m = `∆E −1´m = ∆m E−m(m ∈ N).Na osnovu (5) imamo(6) ∇ f 3 = ∆ f 2 , ∇ 2 f 3 = ∆ 2 f 1 , ∇ 3 f 3 = ∆ 3 f 0 ,pa zaključujemo da za drugi Newtonov interpolacioni polinom možemo koristitiveć formiranu tablicu operatora ∆. Dakle, na osnovu (3), za n = 3, x 3 = 11 ◦ ,h = 2 ◦ , q = 6◦ − 11 ◦2 ◦ = −2.5, imamo(7)P 3`6◦´ = 0.190809 + (−2.5) · 0.034375 + (−2.5)(−1.5)2+ (−2.5)(−1.5)(−0.5)6(−0.000042) = 0.104528 .(−0.000190)Uočimo da su pri ovom korišćeni uokvireni elementi iz tablice konačnih razlikaoperatora ∆, a s obzirom na (6).Upored¯ivanjem (4) i (7) vidimo da su dobijeni rezultati, dati sa šest decimala,identični. Teorijski, s obzirom na jedinstvenost interpolacionog polinoma, to jetrebalo i očekivati. Med¯utim, to u praksi nije uvek tako s obzirom na greškezaokrugljivanja koje se javljaju u procesu izračunavanja. Upravo sa tog (numeričkog)stanovišta, Newtonovi interpolacioni polinomi nisu naročito pogodni,pa se u praksi koriste uglavnom interpolacioni polinomi sa centralnim razlikama.6.1.23. Koristeći priloženu tabelu sa prednjim razlikama za funkciju x ↦→log 10 x, izračunati log 10 106 i proceniti grešku.