Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

226 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAgde su H k Hermiteovi polinomi koji su ortogonalni na intervalu (−∞, ∞) satežinom x ↦→ p(x) = e −x2 . S obzirom na tu činjenicu koeficijente C k odred¯ujemona osnovu(2) C k = (f, H k)(H k , H k )(k = 0,1, . . . , m) ,(videti [2, str. 94]), gde je skalarni proizvod u prostoru L 2 (−∞,+∞) definisan sa(f, g) =Z +∞−∞e −x2 f(x)g(x)dx(f, g ∈ L 2 (−∞, ∞)).Kako je funkcija f neparna, zaključujemo da je u (1), C 2n = 0 (n = 0,1,. . . , ˆ m2˜), pa jeΦ(x) =[(m−1)/2]Xn=0C 2n+1 H 2n+1 (x).U cilju nalaženja koeficijenata C 2n+1 , izračunajmo najpre integralI 2n =Z +∞−∞e −αx2 H 2n (x)dx (α > 0).Korišćenjem parcijalne integracije, pri čemu uzimamou = e −αx2 ,dv = H 2n (x)dx,pa je du = −2α x e −x2 dx, v = H 2n+1(x)2(2n + 1) (s obzirom da je 2(k + 1) H k(x) =(x) (videti [4, str. 60])), dobijamoH ′ k+1Kako jeI 2n =α(2n + 1)(videti [4, str. 61]), tj. za k = 2n + 1Z +∞−∞xe −αx2 H 2n+1 dx.2xH k (x) = 2k H k−1 (x) + H k+1 (x),(3) x H 2n+1 (x) = (2n + 1) H 2n (x) + 1 2 H 2n+2(x),poslednji integral postajeI 2n =α2n + 1= α I 2n +Z +∞−∞e −αx2h (2n + 1)H 2n (x) + 1 i2 H 2n+2(x) dxα2(2n + 1) I 2n+2 ,