Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

238 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJApolinomom Q m (x) (m < 5), što je moguće nižeg stepena, tako da važi|P(x) − Q m (x)| ≤ 0.05 (|x| ≤ 1).Rešenje. Izvršimo najpre ekonomizaciju korišćenjem Čebiševljevih polinomax ↦→ T n (x) (n = 0, 1, . . .). Za Čebiševljeve polinome važi rekurentna relacijaT n+1 (x) = 2xT n (x) − T n−1 (x) (n = 1,2, . . .),na osnovu koje, s obzirom da jedobijamoT 0 = 1 , T 1 = x,T 2 = 2x 2 − 1, T 3 = 4x 3 − 3x, T 4 = 8x 4 − 8x 2 + 1, T 5 = 16x 5 − 20x 3 + 5x,a odavde jetj.1 = T 0 , x = T 1 , x 2 = 1 2 (T 0 + T 2 ), x 3 = 1 4 (3 T 1 + T 3 ),x 4 = 1 8 (3T 0 + 4 T 2 + T 4 ), x 5 = 1 16 (10 T 1 + 5 T 3 + T 5 ) .Korišćenjem ovih formula, polinom P(x) se može predstaviti u oblikuP(x) = T 0 + 1 2 T 1 + 1 6 (T 0 + T 2 ) + 1 16 (3 T 1 + T 3 )++ 1 40 (3 T 0 + 4 T 2 + T 4 ) + 1 96 (10T 1 + 5 T 3 + T 5 ),(1) P(x) = 1120 (149 T 0 + 32 T 2 + 3 T 4 ) + 1 96 (76 T 1 + 11 T 3 + T 5 ) .Ako formiramo polinom Q 4 (x) na taj način što u razvoju (1) ,,ukinemo‘‘ polinomT 5 , tada je, s obzirom da Čebiševljevi polinomi zadovoljavaju nejednakost|T n (x)| ≤ 1 (|x| ≤ 1),|P(x) − Q 4 (x)| ≤ 1 96< 0.05 (|x| ≤ 1) .S obzirom da granica greške 0.05 nije premašena, formirajmo polinom Q 3 (x)tako što u razvoju (1) ,,ukidamo‘‘ polinome T 5 i T 4 , pri čemu je|P(x) − Q 3 (x)| ≤ 1 96 + 3 < 0.05 (|x| ≤ 1) .120