Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

PROBLEM NAJBOLJIH APROKSIMACIJA 247Primenom Lagrangeove teoreme o srednjoj vrednosti funkcije dobijamoH(a 0 , a 1 ) =3Xe 2W k(Y k − a 0 − a 1 X k ) 2 ,k=0gde se W k nalazi izmed¯u Y k i a 0 + a 1 X k . Pretpostavljajući da su ove vrednostibliske, možemo uzeti W k = Y k , tj. e 2W k= fk 2 . Dakle, funkcija koju treba minimiziratije3XH(a 0 , a 1 ) = fk 2 (Y k − a 0 − a 1 X k ) 2 ,k=0što znači da treba primeniti metod najmanjih kvadrata sa težinskom matricom2349“”P = diag f0, 2 f1, 2 f2, 2 f32 = 6 12174 289 5 .729Sistem normalnih jednačina sada glasi“ 3Xk=0k=0f 2 k” “ 3Xa 0 + fk 2 x k”a 1 =k=0“ 3X“ 3X ”fk 2 x k”a 0 + fk 2 x 2 k a 1 =k=03Xfk 2 log f k ,k=03Xfk 2 x k log f k ,k=0tj.odakle nalazimo1188 a 0 + 2886 a 1 = 3606.96 ,2886 a 0 + 7838 a 1 = 9135.74 ,ia 0∼ = 1.93945 , tj. a = ea 0 ∼ = 6.95492a 1 = b ∼ = 0.45145 .Dobijeni parametri a i b su znatno tačniji, nego oni dobijeni bez upotrebe težinskihkoeficijenata.6.2.21. Korišćenjem metoda najmanjih kvadrata (diskretna srednjekvadratnaaproksimacija) približno odrediti aproksimacionu funkciju oblikaF(x) = log(a + e b+x )