Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

8.2.10. Generalisati metodLINEARNI VIŠEKORAČNI METODI 359y n+2 − y n = 2hf n+1na vektorski oblik i primeniti ga za rešavanje problemay ′′ = 2y ( 1 + 2x 2) , y(0) = 1, y ′ (0) = 0,na segmentu [0, 0.5] sa korakom h = 0.1.Rešenje. Lako nalazimo red datog metoda p = 2 i konstantu greške C 3 = 1 3 .Ako generališemo dati metod na vektorski oblik, on postaje(1) y n+2 − y n = 2hf n+1i može se primeniti za rešavanje sistema diferencijalnih jednačina prvog reda sapočetnim uslovima (Cauchyev problem za sistem diferencijalnih jednačina prvogreda)y i ′ = f i (x; y 1 , . . . , y m )(i = 1, . . . , m),y i (x 0 ) = y i0koji se može predstaviti u vektorskom obliku(2) y ′ = f (x,y), y(x 0 ) = y 0 ,gde suy =2643y 1...y m75 , y 0 =2643y 10. .y m075 , f (x,y) =23f 1 (x; y 1 , . . . , y m )6745 ..f m (x; y 1 , . . . , y m )Problem dat zadatkom možemo prevesti na sistem diferencijalnih jednačina(3)y ′ = z ,z ′ = 2y`1 + 2x 2´, y(0) = 1, z(0) = 0,pa ako ovaj sistem predstavimo u vektorskom obliku (2), tada je2(4) y = 4 y 323 2z5 , f (x,y) = 4z2y`1 + 2x 2´ 5 , y 0 = 4 y(0)3 25 = 4 1 35 .z(0) 0