Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

32 OSNOVNI ELEMENTI NUMERIČKE MATEMATIKEPostastavlja se pitanje kako možemo izbeći ovu slabu uslovljenost. Rešenjenalazimo u zapažanju da umesto da množimo velikim brojem bolje bi bilo da delimovelikim brojem, pogotovu ako dobijamo veće rezultate u isto vreme. To se izvodiizračunavanjem unazad u formuli (2), tj. biranjem nekog ν > n i izračunavanjempo formuliI k−1 = 1 „ 15 kk«− I , k = ν, ν − 1, . . . , n + 1.Problem je tada, naravno, kako izračunati startnu vrednost I ν .Pre nego se pozabavimo sa tim, primetimo da sada imamo novi problem g n :R → R (n je parametar < ν) koji možemo prikazati na sledeći način:I ν −→ g n −→ In .Kao i u prethodnom slučaju, razmatramo funkciju g n kao linearnu funkciju odI ν i na sličan način kako smo došli do (5), zaključujemo da jeI ν (−1/5) ν−n(condg n )(I ν ) =, ν > n.˛ I n˛˛˛˛˛Opet, na osnovu monotonosti za I n , dobijamo„ « ν−n 1(cond g n )(I ν ) < , ν > n.5Po analogiji sa (4), sada imamo(6)˛ − I n˛InI n˛˛˛˛ = (cond g n )(I ν )„ ˛ − I ν 1˛IνI ν˛˛˛˛ n.5Granica sa desne strane može da se učini proizvoljno malom, na primer ≤ ε, akoizaberemo ν dovoljno veliko, tj.(7) ν ≥ n + log(1/ε)log 5.