Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

LINEARNI VIŠEKORAČNI METODI 353U tabeli 1 su pregledno dati rezultati primene datog metoda za a = −3/4, kadaje korak h = 0.01, h = 0.02 i h = 0.05.Objasnimo ponašanje apsolutne greške iz tabele.Korak h = 0.05 ne pripada ni intervalu relativne ni intervalu apsolutne stabilnosti,tako da apsolutna greška raste sa porastom apscise.Prisetimo se da je koncept apsolutne stabilnosti zasnovan na kontroli apsolutnegreške, a koncept relativne stabilnosti na kontroli relativne greške. Korak h=0.02pripada intervalu apsolutne stabilnosti, ali ne i intervalu relativne stabulnosti.Posledica toga je da apsolutna greška opada kako odmiče primena metoda, tj. saporastom apscise. No, primetimo da apsolutna greška ne opada onom brzinomkojom opada rešenje model problema. Za korak h = 0.01, koji pripada i intervalurelativne stabilnosti, apsolutna greška opada i to u ritmu opadanja tačnog rešenjakako bi relativna greška ostala pod kontrolom.8.2.7. Ispitati apsolutnu stabilnost metoda(1) y n+2 − y n = h 2 (f n+1 + 3f n ).Rešenje. Ako za dato ¯h sve nule r i polinoma stabilnosti π(r,¯h) = ρ(r)−¯h·σ(r)(ρ(r) i σ(r) su prvi i drugi karakteristični polinom, respektivno) ispunjavaju uslov|r i | < 1 (i = 1, . . . , k), tada kažemo da je linearni k-koračni metod apsolutno stabilanza dato ¯h; u protivnom kažemo da je apsolutno nestabilan. Ako je metodapsolutno stabilan za svako ¯h ∈ (α, β), interval (α, β) nazivamo intervalom apsolutnestabilnosti.Poznato je da se bilinearnom transformacijom r ↦→ z = r − 1 oblast |r| < 1 ur + 1r-kompleksnoj ravni, preslikava u oblast Re z < 0 u z-kompleksnoj ravni.Hurwitzovi polinomi su oni polinomi koji imaju osobinu da su im sve nule sarealnim delom manjim od nule.