Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

360 PRIBLIŽNO REŠAVANJE OBIČNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAČINAAko metod (1) primenimo na (3), imajući u vidu (2) i (4), dobijamo24 y 3 2n+25 − 4 y 3 232nz n+15 = 2h 45 , y 0 = 4 y 3 205 = 4 1 35 ,z n+2 z n 2y n+1`1 + 2x2n+1´z 0 0ili u skalarnom obliku(5)y n+2 = y n + 2h z n+1 ,z n+2 = z n + 4hy n+1`1 + 2x2n+1´, y0 = 1, z 0 = 0.S obzirom da je korišćeni metod (1) dvokoračni, za njegovo ,,aktiviranje‘‘ je potrebnopoznavati dve startne vrednosti, tj. y 0 , y 1 . Kako je y 0 dato zadatkom,preostaje da još odredimo y 1 , na primer Taylorovim metodom. U Taylorovommetodu uzećemo članove zaključno sa članom koji sadrži drugi izvod funkcije, sobzirom da je metod (1) drugog reda, tj.(6)y 1 = y(0) + y ′ (0) h + y ′′ (0) h22 ,z 1 = z(0) + z ′ (0) h + z ′′ (0) h22 .Na osnovu (3), dobijamoy(0) = 1 , y ′ (0) = z(0) = 0 , y ′′ (0) = 2y(0)(1 + 2 · 0 2 ) = 2 ,z(0) = 0 , z ′ (0) = 2y(0)(1 + 2 · 0 2 ) = 2 , z ′′ (0) = 0,s obzirom da je z ′′ = 2y ′`1 + 2x 2´ + 2y · 4x. Sada, za h = 0.1, na osnovu (6),sledujey 1 = 1.01 , z 1 = 0.2 .Dakle, korišćenjem startnih vrednosti y 0 = 1, z 0 = 0, y 1 = 1.01 i z 1 = 0.2, naosnovu (5) dobijamo rezultate (zaokružene na tri decimale) koji su pregledno datiu tabeli. U poslednjoj koloni tabele je dato tačno rešenje problema.k x k z k y k y(x k ) = e x2 k0 0.0 0.000 1.000 1.0001 0.1 0.200 1.010 1.0102 0.2 0.413 1.040 1.0413 0.3 0.649 1.093 1.0944 0.4 0.928 1.170 1.1745 0.5 1.278 1.284