Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

ANALIZA GREŠAKA, REKURZIVNA IZRAČUNAVANJA I SUMIRANJA 39što predstavlja tačnu vrednost na šest decimala.2.1.17. Pokazati kako se aproksimacijasin πz2 ∼ = 1.57032002z − 0.64211317z 3 + 0.07186085z 5 ,koja važi za z ∈ [−1,1], može primeniti na izračunavanje vrednosti sin x zasvako x.Rešenje. Da bismo izračunali sin x, odredimo najpre, u = 2» –π x i v = u −144 (u + 1) , gde [x] označava najveći ceo broj ne veći od x 10) . Nadalje, ako jev ≤ 1, stavimo z = v, u protivnom stavimo z = 2 − v. Nije teško videti da je tada−1 ≤ z ≤ 1 isin x = sin πz2 .Naime, za svako x imamotj.sin x = sin πu2 = sin π „ » –« „ » –«1 πv 1v + 42 4 (u + 1) = sin2 + 2π 4 (u + 1) ,S druge strane, kako jesin x = sin πv2 .„ » –«1 1v = 44 (u + 1) − 4 (u + 1) − 1 ,zaključujemo da je −1 ≤ v < 3. Tada na osnovu prethodnog imamoj v (−1 ≤ v ≤ 1) ,z =2 − v (1 < v < 3) ,što znači da je uvek −1 ≤ z ≤ 1. Takod¯e, sin x = sin πz2 .2.1.18. Dat je stepeni red(1) f(x) =10) Na primer, [2.71] = 2, [−2.71] = −3.+∞∑k=1x kk 2 .