Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

PRIMENA BANACHOVOG STAVA 53Da bismo koristili Banachov stav, a s obzirom da je jasno da T preslikava C[a, b]u samog sebe, ostaje još jedino da vidimo pod kojim uslovima je T kontrakcija.Ako jeza x 1 , x 2 ∈ C[a, b] imamomax |K(s, t)| = M,(s,t)∈P‖T x 1 − T x 2 ‖ = ‖y 1 − y 2 ‖ ≤ |λ|Z ba|K(s, t)||x 1 (t) − x 2 (t)| dt≤ |λ| M maxa≤t≤b |x 1(t) − x 2 (t)|(b − a)= |λ| M (b − a)‖x 1 − x 2 ‖ .Prema tome, ako je |λ| M (b − a) < 1, tj. |λ| < 1/(M(b − a)), T je kontrakcija ina osnovu Banachovog stava niztj.x [k+1] (t) = T x [k] (t) (k = 0, 1, . . .),x [k+1] (s) = λZ baK(s, t) x [k] (t) dt + g(s),konvergira jedinom neprekidnom rešenju nehomogene Fredholmove jednačine zabilo koju startnu vrednost x [0] (t) ∈ C[a, b].Primetimo da je ovim stavom obezbed¯eno rešenje Fredholmove jednačine samoza male vrednosti parametra |λ|.Literatura:S. Aljančić: Uvod u realnu i funkcionalnu analizu. Grad¯evinska knjiga, Beograd,1968.3.1.3. Korišćenjem Banachovog stava o nepokretnoj tački, diskutovatiegzistenciju rešenja beskonačnog sistema linearnih algebarskih jednačina(1)a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + · · · = b 1 ,a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + · · · = b 2 ,a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + · · · = b 3 ,Rešenje. Sistem (1) može se predstaviti u oblikux i =+∞ Xj=1.c ij x j + b i (i = 1,2, . . . ),