Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

ANALITIČKI METODI ZA REŠAVANJE CAUCHYEVOG PROBLEMA 335Rešenje. 1 ◦ Rešenje tražimo u obliku(2) y(x) = y(1) + y′ (1)1!Na osnovu (1) imamo(x − 1) + y′′ (1)2!(x − 1) 2 + · · · .y ′ = y + 3x 2 − x 3 ,y ′′ = y ′ + 6x − 3x 2 ,y ′′′ = y ′′ + 6 − 6x ,y (4) = y ′′′ − 6 ,y (k) = y (k−1) ,y ′ (1) = 3 ,y ′′ (1) = 6 ,y ′′′ (1) = 6 ,y (4) (1) = 0 ,y (k) (1) = 0 , (k = 5,6, . . .).Zamenom dobijenih vrednosti u (2) dobijamoy(x) = 1 + 3 1! (x − 1) + 6 2! (x − 1)2 + 6 3! (x − 1)3 = x 3 ,što je i tačno rešenje problema (1).Jasno je da Taylorovim metodom možemo dobiti tačno rešenje Cauchyevogproblema samo onda kada je to rešenje polinomskog oblika, kao što je to ovde bioslučaj.2 ◦ Za razliku od Taylorovog metoda, ovde rešenje problema (1) tražimo u obliku(3) y(x) = a 0 + a 1 (x − 1) + a 2 (x − 1) 2 + · · · ,gde nepoznate koeficijente a k (k = 0, 1, . . .) formalno odred¯ujemo iz uslova da (3)zadovoljava problem (1). Očigledno je, na osnovu početnog uslova, a 0 = 1.S obzirom na (3), imamopa zamenom u (1) dobijamoy ′ (x) = a 1 + 2a 2 (x − 1) + 3a 3 (x − 1) 2 + · · ·a 1 + 2a 2 (x − 1) + 3a 3 (x − 1) 2 + 4a 4 (x − 1) 3 + · · · + na n (x − 1) n−1 + · · ·= 1 + a 1 (x − 1) + a 2 (x − 1) 2 + a 3 (x − 1) 3 + · · · + a n−1 (x − 1) n−1+ · · · + 3x 2 − x 3 .Poslednja jednakost, posle smene t = x − 1, postaje(a 1 − 3) + (2a 2 − a 1 − 3) t + (3a 3 − a 2 ) t 2 + (4a 4 − a 3 + 1) t 3+ · · · + (na n − a n−1 )t n−1 + · · · = 0 ,