Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

64 OPŠTA TEORIJA ITERATIVNIH PROCESAIskoristimo sada navedenu teoremu u zadatku 3.2.3 za ubrzavanje konvergencijeprocesa (3). Dakle, iterativni proces x k+1 = F(x k ), gde je(4) F(x) = x − x − G(x)1 − G ′ (x) ,ima red konvergencije najmanje 2. S obzirom da jeG ′ (x) = 1 −na osnovu (4) dobijamo`f(x) + (x − α) f ′ (x)´(f(x) − f(α)) − f(x)f ′ (x)(x − α)(f(x) − f(α)) 2 ,f(x)(f(x) − f(α))(x − α)F(x) = x −(f(x) + (x − α) f ′ (x))(f(x) − f(α)) − f(x)f ′ (x)(x − α)f(x) − f(α)= x − „1 + (x − α) f ′ «(x) f(x) − f(α)− ff(x) x − α′ (x)f(x) − f(α)= x −f(x) − f(α)− f(α)f ′ .(x)x − α f(x)Najzad, s obzirom na (2), imamo(5) F(x) = x −g(x)(x − α)g(x) − h(x)=α g(x) − x h(x)g(x) − h(x)Iterativna funkcija (5) predstavlja iterativnu funkciju procesa (1). Dakle, iterativniproces (1) ima red konvergencije najmanje 2.Uzimajući α = 0, x 1 = β = 1 za funkciju f(x) = x 3 −3x 2 +4x −1, korišćenjem(1), dobijamok x k f(x k )1 1. 1.2 0.3333 0.03703 0.3176 0.0016.