Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

ANALITIČKI METODI ZA REŠAVANJE CAUCHYEVOG PROBLEMA 339Picardov metod sukcesivnih aproksimacija može se generalisati na vektorskioblikZ x(3) y [s+1] = y 0 + f “ ”t,y [s] (t) dt (s = 0,1, . . . ) ,x 0za rešavanje Cauchyevog problema (2).tj.Na osnovu prethodno rečenog, za problem postavljen zadatkom, imamouz usloveili u vektorskom oblikugde suy =»z1z 1 = y , z 2 = y ′ ,z ′ 1 = z 2 ,z ′ 2 = 2(xz 2 + z 1 ) ,z 1 (0) = 1 , z 2 (0) = 0 ,y ′ = f (x,y) , y(x 0 ) = y 0 ,–»–» –z, f (x,y) = 21, y(xz 2 2(xz 2 + z 1 ) 0 ) = y 0 = , x0 0 = 0 .Primenom Picardovog metoda (3), dobijamo2 Z2 3 2y [s+1] = 4 z[s+1] 15 = 4 1 3x5 + 6 04 Z x0 2z [s+1]20z [s]2 dt“tz [s]2 + z[s] 1”dta dalje uzimajući y [0] = y 0 , za s = 0, 1,2, 3, dobijamo redom2 Z2 3 2y [1] = 4 z[1] 15 = 4 1 3 x 320 · dt5 + 6 04 Z 7 x 5 = 4 135 ,0 2 · dt 2xz [1]20375 (s = 0, 1, . . .),y [2] =y [3] =24 z[2] 12z [2]24 z[3] 1z [3]223 25 = 4 1 35 + 64023 25 = 4 1 35 + 640Z x0Z x02 · dt“ ”4t 2 + 2Z x0Z x03 21 + x 2 375 = 6 74dt 2x + 4 5 ,3 x3„2t+ 4 « 3 233 t3 dt„2+6t 2 + 8 « 75 = 1+x 2 + x46 3743 t4 dt 2x+2x 3 + 8 515 x5