Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

KARAKTERISTIKE PROCESA I UBRZAVANJE KONVERGENCIJE 61za koji znamo da ima red konvergencije najmanje dva.Primenom iterativnog procesa (2) dobijamo sledeće iteracije:kx k0 1.00000000001 0.48628801702 0.45041860473 0.45018362154 0.45018361135 0.4501836113Od posmatranih metoda najbrže konvergira metod (3), zatim (2), pa (1). Ovopostaje jasno ako imamo u vidu sledeće asimptotske jednakosti:«Metod (1): x k+1 − a ≈ Φ ′ (a)(x k − a)„˛˛Φ ′ (a)˛˛ = ˛˛−1 2 sin a˛˛˛˛ < 1 ,Metod (2): x ∗ k+1 − a ≈ (Φ′ (a)) 2 (x ∗ k − a) (videti [1, str. 193]),Metod (3): x k+1 − a ≈ C(x k − a) 2 „C =cos a2(2 + sin a) = a2 + sin aDakle, procesi (1) i (2) su sa linearnom konvergencijom (drugi sa manjom asimptotskomkonstantom greške), dok je proces (3) sa kvadratnom konvergencijom.3.2.4. Jednačina f(x) = 0 ima prost koren x = a za čije se odred¯ivanjekoristi iterativni proces x k+1 = G(x k ), gde je«.(1) G(x) = x − f(x) ( ) 2 f(x)f ′ (x) + h(x) f ′ .(x)Odrediti funkciju h tako da iterativni proces ima red konvergencije najmanjetri, pri čemu je funkcija f dovoljan broj puta diferencijabilna.Rešenje. Zadatak ćemo rešiti na dva načina.Prvi način: Da bi zadati iterativni proces imao red konvergencije najmanje tri,potrebni su sledeći uslovi (videti [1, str. 95])G(a) = a, G ′ (a) = G ′′ (a) = 0.