Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

ili, u matričnom oblikuPROBLEM NAJBOLJIH APROKSIMACIJA 243(2) Xa = f ,gde jeX =2641 01 11 21 43» –75 , a = a0, f =a 1Sistem (1) nema rešenja, tj. sve jednačine ne mogu biti istovremeno zadovoljene.Ako definišemo δ pomoćuδ(x) = f(x) − Φ(x) = f(x) −2641Xa k x k ,moguće je tražiti ,,rešenje‘‘ sistema (1), tj. odrediti koeficijente a 0 i a 1 , tako daveličina„ 3X « 1/2‖δ‖ 2 = |f(x j ) − Φ(x j )| 2j=0k=0130−1375 .ima najmanju vrednost. Kako je dokazano u [2, str. 108–110], tražene koeficijentenalazimo kao rešenje sistema jednačina, koji dobijamo množenjem (2) matricomX ⊤ sa leve strane, tj.X ⊤ Xa = X ⊤ fili » – » –4 7 a0=7 21 a 1odakle je»a0a 1–= 1 35»21 −7−7 4» –3,−1– » – »3=−12−5/7–.Dakle, Φ(x) = − 5 x + 2. Veličina najbolje aproksimacije je7‖δ‖ 2 =„ 3X « 1/2|f(x j ) − Φ(x j )| 2 ∼= 2.070 .j=06.2.20. Metodom najmanjih kvadrata odrediti parametre u aproksimacionojfunkciji Φ(x) = a 0 + a 1 x za sledeći skup parova (x j ,f j ):(1){(1, 1.95), (2, 2.40), (3, 2.83), (4, 3.30)}.