Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

54 OPŠTA TEORIJA ITERATIVNIH PROCESAgde je c ij = δ ij − a ij . Pokazaćemo da ovaj sistem ima jedinstveno ograničenorešenje (x ∗ 1, x ∗ 2, . . . ), tj. takvo da jeako je|x ∗ j | ≤ M za svako j = 1, 2, . . . ,(2)+∞ Xj=1|c ij | ≤ q < 1 i |b i | ≤ B (i = 1,2, . . . ),gde konstante q i B ne zavise od i. Tada se rešenje (x ∗ 1, x ∗ 2, . . . ) može dobiti suksesivnomaproksimacijom, polazeći od nekog proizvoljnog ograničenog niza brojeva(x 0 1, x 0 2, . . . ).Neka je m metrički prostor ograničenih nizova. U njemu ćemo definisati preslikavanjey = f(x) koje svakom x = (x 1 , x 2 , . . . ) ∈ m pridružuje tačku y =(y 1 , y 2 , . . . ) u skupu s svih nizova, pomoću jednačinay i =+∞ Xj=1c ij x j + b i (i = 1,2, . . . ).Da bismo mogli primeniti Banachov stav na preslikavanje koje je definisano ukompletnom metričkom prostoru m, potrebno je da pokažemo da f preslikava mu m i da je kontrakcija.Pokažimo, najpre, da je ispunjen prvi uslov. Kako je x ∈ m, tj. |x j | ≤ A, naosnovu (2), imamotj. y ∈ m.|y i | ≤+∞ Xj=1|c ij | |x j | + |b i | ≤ Aq + B (i = 1, 2, . . . ),Drugi uslov je, takod¯e, ispunjen. Naime, s obzirom na definiciju metrike u m,imamod(y 1 ,y 2 ) = sup |y (1)i− y (2)+∞ Xi| = supc ij (x (1)j− x (2)j)1≤i