Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

158 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJARešenje. Označimo sa P L n (x) Lagrangeov interpolacioni polinom n-tog stepenafunkcije f. Tada jef(x) − P L n (x) = f(x) −=nXf(x i ) Y x − x jxi=0 i − x jj≠i2nY(x − x k ) 64k=0Kako je (videti [2, str. 24])gde jef(x)+nQ(x − x k )k=0[x 0 , x 1 , . . . , x r ; f] =rXi=0nX f(x i )(x i − x) Q7(x i − x j ) 5 .i=0f(x i )ω ′ r(x i ) , r ∈ N,ω r (x) = (x − x 0 )(x − x 1 ) . . . (x − x r ) i ω ′ r(x i ) =zaključujemo da važi(1) f(x) − P L n (x) = ω n (x)[x 0 , x 1 , . . . , x n , x; f].S druge strane jej≠irY(x i − x j ),j=0j≠i(2) P L n (x) = P L 0 (x) + (P L 1 (x) − P L 0 (x)) + . . . + (P L n (x) − P L n−1(x)).Dalje imamoP L k (x) − P L k−1(x) = A k ω k−1 (x), k = 1,2, . . . , n,jer je P L k (x) − P L k−1 (x) polinom k-tog stepena sa nulama x 0, . . . , x k−1 .Kako je f(x k ) = P L k (x k), to na osnovu prethodnog važidok je iz (1) za x = x k i n = k − 1,f(x k ) − P L k−1(x k ) = A k ω k−1 (x k ),f(x k ) − P L k−1(x k ) = ω k−1 (x k )[x 0 , . . . , x k−1 , x k ; f].3