Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

ITERATIVNI METODI U LINEARNOJ ALGEBRI 85koji je poznat kao Jacobiev metod.Za ispitivanje konvergencije Jacobievog metoda (6), za rešavanje sistema jednačina(2), poslužimo se teoremom L. Collatza o dominantnosti glavne dijagonalematrice A = ˆa ij˜(videti [1, str. 266]). (Napomenimo da ova teorema daje dovoljneuslove za konvergenciju, što će reći, da ako ti uslovi nisu ispunjeni, pitanjekonvergencije ostaje otvoreno). Dakle, s obzirom da je|a 11 | = 10 > |a 12 | + |a 13 | = 4 ,|a 22 | = 5 > |a 21 | + |a 23 | = 2 ,|a 33 | = 10 > |a 31 | + |a 32 | = 3 ,i kako A ne sadrži nula–submatricu tipa 1 × 2 ili 2 × 1, zaključujemo da su usloviteoreme ispunjeni, te iterativni proces (5), za rešavanje sistema (2), konvergira.Primetimo da sa sistema (1) možemo preći na sistem (4), odnosno (5), ali uskalarnom obliku, na taj način što i–tu jednačinu sistema (1) rešimo po x i (i =1, 2,3). Tada nepoznatim na levoj strani pridružimo indeks (k), a na desnoj straniindeks (k − 1). Tako dobijamo(6)x (k)1= −0.3 x (k−1)2+ 0.1 x (k−1)3+ 1.2x (k)2= 0.2 x (k−1)1+ 0.2 x (k−1)3+ 0.6x (k)3= −0.1 x (k−1)1− 0.2 x (k−1)2+ 1.39>=>;(k = 1,2, . . .).Startni vektor x (0) je proizvoljan. Polazeći od x (0) = ˆ1.2 0.6 1.3 ˜⊤ , naosnovu (6), za k = 1,2, . . . ,5, dobijamox (1) = ˆ1.150000 1.100000 1.060000 ˜⊤ ,x (2) = ˆ0.976000 1.042000 0.965000 ˜⊤ ,x (3) = ˆ0.983900 0.988200 0.994000 ˜⊤ ,x (4) = ˆ1.002940 0.995580 1.003970 ˜⊤ ,x (5) = ˆ1.001723 1.001382 1.000590 ˜⊤ .Primetimo da je tačno rešenje sistema (1) dato sa x = ˆ 1 1 1 ˜⊤ .4.2.5. Gauss–Seidelovim metodom, ukoliko je on konvergentan, naći približnorešenje sistema linearnih jednačina iz zadatka 4.2.2x 1 = 0.2x 1 − 0.3 x 2 + 7,x 2 = 0.4x 1 + 0.15x 2 + 6.5.