Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

INTERPOLACIJA FUNKCIJA 1796.1.21. Operator A = (1 + E)J razviti po stepenima operatora prednjerazlike ∆.Rešenje. S obzirom naJD f(x) = Jf ′ (x) =zaključujemo da je JD = ∆, tj.Z x+h(1) J = ∆D −1 .xf ′ (t) dt = f(x + h) − f(x) = ∆f(x),Dokazali smo (videti (2) iz zadatka 6.1.19) da je E = e Dh , tj.(2) D = 1 h log E .Kako jeto je ∆ = E − 1, tj.∆f(x) = f(x + h) − f(x) = (E − 1)f(x),(3) E = 1 + ∆ ,pa je, na osnovu (2),D = 1 log(1 + ∆) .hNa osnovu (1) i poslednje jednakosti, imamoPosmatrajmo sada funkcijuJ = ∆„ 1h log(1 + ∆) « −1.g(x) =hxlog(1 + x) ,pri čemu je, formalno, J = g(∆). S obzirom da jeimamog(x) = hlog(1 + x) = x − x22 + x33 − x44 + · · · ,“= h= hxx„1 − x 2 + x23 − x34 + · · ·«”1 + g 1 (x) + (g 1 (x)) 2 + · · ·„1 + 1 2 x − 1 12 x2 + 1 24 x3 − 19720 x4 + · · ·«,