Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

NELINEARNE JEDNAČINE 1055.1.5. Primenom Newtonovog metoda odrediti kvadratni koren iz pozitivnogbroja a. Numerički ilustrovati slučaj a = 3.Rešenje. Primenom Newtonovog metoda na rešavanje jednačinef(x) = x 2 − a = 0 (x > 0) ,dobijamoiterativnu formuluza odred¯ivanje kvadratnogkorenaiz pozitivnog brojaa(1) x k+1 = x k − x2 k − a „= 0.5 x2x k + a «k x k(k = 0,1, . . .).Slično, ako Newtonov metod primenimo na rešavanje jednačinedobijamo iterativnu formuluf(x) = 1 − a = 0 (x > 0) ,x2 (2) x k+1 = x k −1x 2 k− a− 2x 3 k= 0.5 x k“3 − ax 2 k”(k = 0, 1, . . .).Niz koji se generiše na osnovu iterativnog procesa (2) konvergira ka a −1/2 .Kada se na ovaj način izračuna vrednost za a −1/2 tada se može lako izračunativrednost bilo kog negativnog stepena ili polustepena broja a koristeći samooperacije množenja. Ako se rezultat iterativnog procesa (2) pomnoži sa a, dobijase kvadratni koren iz broja a. Na taj način može se izračunati i kvadratni korenbroja a bez upotrebe operacije deljenja. Isto tako, odgovarajućim množenjem saa ili približnom vrednošću a 1/2 , mogu se dobiti vrednosti pozitivnih stepena ilipolustepena broja a.Iterativni proces (2) može ponekad imati veliku prednost nad procesom (1) kaometod za nalaženje kvadratnog korena, s obzirom da ne zahteva operacije deljenja.Izračunajmo sada približnu vrednost √ 3, korišćenjem iterativnih formula (1) i(2), sa tačnošću ε = 10 −6 .Na osnovu (1), startujući sa x 0 = 3, dobijamo niz dat u priloženoj sledećojtabeli. Dakle, √ 3 ∼ = 1.7320508.Slično, startujući sa x 0 = 0.1, na osnovu formule (2), dobijamo niz prikazan uistoj tabeli. Saglasno prethodnom, imamo √ 3 ∼ = 3 · x 9 = 1.7320509.