Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

154 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJA6.1.3. Ispitati da li sistem funkcija(1) {1, cos x, sin x, ... , cos nx, sin nx}obrazuje Čebiševljev sistem na [−π, π).Rešenje. Neka su x k (k = 0,1, . . . ,2n) med¯usobno različiti, a inače proizvoljničvorovi na [−π, π). Oni se tada mogu urediti tako da je(2) −π ≤ x 0 < x 1 < · · · < x 2n < π .Sistem funkcija (1) je linearno nezavisan. Da bismo dokazali da je Čebiševljevsistem dovoljno je pokazati da je matricaregularna. Kako je231 cos x 0 sin x 0 · · · cos nx 0 sin nx 01 cos x 1 sin x 1 cos nx 1 sin nx 1G = 674.51 cos x 2n sin x 2n cos nx 2n sin nx 2n0det G = (−1) n(n−1)/2 Y 2n j−1Y2 2n2 @j=1k=0sin x j − x k2s obzirom na (2) zaključujemo da je det G ≠ 0, tj. da je matrica G regularna.Sistem funkcija (1) koristi se za konstrukciju trigonometrijskog interpolacionogpolinoma za funkciju f : [−π, π) ↦→ R na osnovu njenih vrednosti f k = f(x k )u interpolacionim čvorovima x k (k = 0,1, . . . ,2n). Sa T n označimo pomenutitrigonometrijski interpolacioni polinom. Može se pokazati da jedna od mogućihreprezentacija polinoma T n ima oblik(3) T n (x) =2nXk=0f(x k )0nY B@j=0j≠ksin x − x j2sin x k − x j21CA .Primetimo da je T n (x k ) = f(x k ) (k = 0, 1, . . . , 2n). Trigonometrijski interpolacionipolinom (3) predstavlja analogon Lagrangeovom interpolacionom polinomu.1A ,6.1.4. Aproksimirati funkciju x ↦→ f(x) = e x , na segmentu [0, 0.5],interpolacionim polinomom.