Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

V G L A V ANelinearne jednačine i sistemi5.1. Nelinearne jednačine5.1.1. Metodom proste iteracije odrediti realan koren jednačine(1) x 3 − x − 1 = 0.Rešenje. Datu jednačinu možemo napisati u obliku x 3 = x + 1, pa skicirajućigrafike elementarnih funkcija x ↦→ x 3 i x ↦→ x +1 uočavamo da postoji samo jedanrealan koren date jednačine i to na segmentu [0, 2].Da bismo rešili jednačinu (1) metodom proste iteracije, treba je prethodno svestina oblik(2) x = Φ(x).Pod pretpostavkom da neprekidna funkcija Φ zadovoljava uslove:1 ◦ Φ : [0, 2] ↦→ [0, 2],2 ◦ Φ ima izvod u svakoj tački x ∈ [0,2], takav da je |Φ ′ (x)| ≤ q < 1, tadajednačina (2), tj. jednačina (1), ima jedinstveno rešenje a ∈ [0, 2] i ono se možeodrediti iterativnim procesomx k+1 = Φ(x k ) (k = 0,1, . . .),sa proizvoljnim x 0 ∈ [0,2] (videti [1, str. 181]).Neki od oblika (2) za jednačinu (1) sux = Φ 1 (x) = x 3 − 1 , x = Φ 2 (x) = 1 x 2 + 1 x , x = Φ 3(x) = 3√ x + 1 .Neposrednim proveravanjem zaključujemo da od navedenih funkcija samo Φ 3zadovoljava uslove 1 ◦ i 2 ◦ , pri čemu je|Φ ′ 13(x)| =˛3 3p ≤(x + 1)˛˛˛˛˛ 1 (x ∈ [0, 2]).2 3