Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

5.3. Algebarske jednačineALGEBARSKE JEDNAČINE 1475.3.1. Primenom Bernoullievog metoda naći realnu dominantnu nulu x 1polinomaP(x) = 2x 3 − 7x 2 − 18x − 22.Rešenje. U slučaju kada je dominantna nula polinoma realna ili kada je dominantnanula realna i višestruka, po Bernoullievom metodu treba postupiti nasledeći način.Jednačinu P(x) = 0 posmatramo kao karakterističnu jednačinu linearne homogenediferencne jednačine reda m = dg(P(x)) = 3, tj.ili2y n+3 − 7y n+2 − 18y n+1 − 22y n = 0(1) y n+3 = 3.5y n+2 + 9y n+1 + 11y n .Na osnovu (1), uz početne uslove y 0 = y 1 = · · · = y m−2 = 0, y m−1 = 1,formiramo niz {y k } k∈N0 . Korišćenjem niza {y k } konstruišemo niz {u k } pomoćuu k = y k+1y k. Tada važi (videti [1, str. 399–402])lim u k = x 1 .k→+∞S obzirom na konačnost izračunavanja uzimamo x 1∼ = uk , ako je |u k −u k−1 | < ε,gde je ε unapred zadata tačnost.Dakle, na osnovu prethodnog, uzimajući y 0 = y 1 = 0, y 2 = 1 imamok y k u k2 1. 3.50003 3.5 6.07144 21.25 5.50005 116.875 5.46586 638.8125 5.51257 3521.46875 5.49778 19360.07813 5.50009 106480.4297pa uzimamo x 1∼ = u8 = 5.5000 što je, u ovom slučaju, i tačna vrednost dominantnenule polinoma P.