Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

344 PRIBLIŽNO REŠAVANJE OBIČNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAČINAKonstanta greške C 7 ovog metoda je16 + 15aC 7 = D 7 = − ≠ 0 (−1 < a < 1) .1890Dakle, dobili smo familiju optimalnih četvorokoračnih metoda sa slobodnimparametrom a ∈ (−1,1). Na primer, za a = 4/19 dobija se Quadeov metody n+4 − 8 19 (y n+3 − y n+1 ) − y n = 6h19 (f n+4 + 4(f n+3 + f n+1 ) + f n ) .8.2.3. Konstruisati trokoračni Nyströmov metod ( ρ(r) = r k−2 (r 2 − 1),eksplicitan ) .Tako dobijen metod primeniti na rešavanje model problemasa korakom h = 0.1.y ′ = 2xy , y(0) = 1 (0 ≤ x ≤ 0.5),Rešenje. Eksplicitni metodi kod kojih je prvi karakteristični polinom oblikaρ(ξ) = ξ k−2 (ξ 2 − 1) (k ≥ 2) ,nose naziv Nyströmovi metodi. S obzirom da su nule polinoma ρ date sa ξ 1 = 1,ξ 2 = −1, ξ j = 0 (j = 3, 4, . . . , k), zaključujemo da je kod ovih metoda obezbed¯enanula-stabilnost.Za k = 3 jea imajući u vidu da jeρ(ξ) = ξ 3 − ξ ,ρ(ξ) = α 0 + α 1 ξ + α 2 ξ 2 + α 3 ξ 3 ,imamo α 0 = 0, α 1 = −1, α 2 = 0, α 3 = 1. Koeficijent β 3 = 0 s obzirom da jemetod eksplicitan. Koeficijente β 0 , β 1 , β 2 odredićemo sa stanovišta maksimalnogreda metoda:C 1 = α 1 + 2α 2 + 3α 3 − (β 0 + β 1 + β 2 + β 3 ) = 0 ,C 2 = 1 ”“α 1 + 2 2 α 2 + 3 2 α 3 − 1 2!1! (β 1 + 2β 2 + 3β 3 ) = 0 ,C 3 = 1 ”“α 1 + 2 3 α 2 + 3 3 α 3 − 1 ”“β 1 + 2 2 β 2 = 0 ,3!2!