Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

NUMERIČKA INTEGRACIJA 297(2) iz zadatka 7.2.5, nije moguća, već je mogućuća u obliku koji daje PeanoovateoremaR 5 (f) =Z 1−1pri čemu pretpostavljamo da f ∈ C 6 [−1, 1].K 5 (t) f (6) (t) dt ,Ako je šesti izvod funkcije f ograničen na [−1, 1], tj. ako je ˛˛f(6) (t) ˛˛≤ M6 (t ∈[−1, 1]), tada na osnovu prethodnog važi sledeća ocena ostatka:|R 5 (f)| ≤ M 6 e 5 ,gde jee 5 =Z 1−1|K 5 (t)| dt .7.2.14. Obim elipseL(c) = 4{(x,y) :∫ π/20x 2}c 2 + y2 = 1, c > 0 dat je formulom√1 − (1 − c 2 ) sin 2 t dt .Za c = 1.2, približno odrediti L(c) Rombergovom integracijom, koristeći prvatri koraka. Pri računanju koristiti približne vrednosti podintegralne funkcijef k = f(x k ) u tačkama x k = kπ/8 (k = 0,1,2,3,4):f 0 = 1.00000, f 1 = 1.03172, f 2 = 1.10453, f 3 = 1.17284, f 4 = 1.20000.Rešenje. Uopštena trapezna formula ima oblik(1) I =Z ba„f(x)dx ∼ 1= T (f, h n ) = h n2 f 0 + f 1 + · · · + f n−1 + 1 «2 f n ,gde je h n = (b − a)/n, x k = a + k h n , f k = f(x k ).Ako za h n uzmemo redom h n = h 2 k = (b − a)/2 k (k = 0,1, 2, . . .) i primenjujemoformulu (1) dobićemo vrednosti T (0)k= T (f, h 2 k), na osnovu kojih možemoformirati iterativni proces(2) T (m)k= 4m T (m−1)k+1− T (m−1)k4 m − 1(m = 1,2, . . .)za odred¯ivanje vrednosti integrala I.