Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

130 NELINEARNE JEDNAČINE I SISTEMIS obzirom da je ,,cena iteracije‘‘ pre svega u zavisnosti od cene izračunavanjavrednosti f (j) za j ≥ 0 (f (0) ≡ f) to je možemo definisati sa θ = P α j θ j , gdeje θ j cena, a α j broj neophodnih izračunavanja f (j) po jednoj iteraciji. Uzmimoda je, u posmatranom slučaju, cena izračunavanja vrednosti funkcije f jednakajedinici (θ 0 = 1). Tada jeL sečice = 1.441 + θ 1L Newton ,pa zaključujemo da ako je cena izračunavanja prvog izvoda funkcije f veća od 0.44,tada je metod sečice ,,jeftiniji‘‘ (optimalniji) od Newtonovog metoda. Ovaj rezultatje dobio Jeeves.No, vratimo se generalnom slučaju i pretpostavimo da je drugi član u (2) zanemarivu odnosu na prvi (što nastaje, na primer, ako su C a i C b bliski jedinici).Tada opet dobijamo da jetj.L a = θ a log r bθ b log r aL b ,L a= log r1/θ bbL b log f 1/θ .aPoslednja jednakost sugeriše definisanje pojma ,,računske efikasnosti‘‘ iterativnefunkcije Φ u odnosu na f, sa(5) E = E(Φ,f) = r 1/θ ,gde je r red konvergencije, θ = P α j θ j , θ j cena, a α j broj neophodnih izračunavanjavrednosti f (j) (f (0) ≡ f) po jednoj iteraciji.Ako θ j fiksiramo, na primer θ j = 1, tj. učinimo ga nezavisnim od j, i stavimod = P α j , tada (5) postaje nezavisno od strukture funkcije f, tj.aj≥0(6)+ EFF = E(Φ) = r1/d .Jednakost (6) je koristio Ostrowski za definisanje ,,indeksa efikasnosti‘‘ iterativnefunkcije.Traub predlaže definisanje pojma ,,informaciona efikasnost‘‘ sa(7) EFF = r d .Čini se da je ocena efikasnosti (5) bolja od (6) i (7) s obzirom da uzima u obzircenu izračunavanja funkcije f i njenih izvoda, za razliku od (6) i (7). Svakako isama ocena (5) ima odred¯enih manjkavosti, koje sleduju iz načina njenog dobijanja.