Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

ANALIZA GREŠAKA, REKURZIVNA IZRAČUNAVANJA I SUMIRANJA 152.1.6. Izvršiti analizu greške kod izračunavanja zbira(1) y = x 1 + x 2 + x 3 + x 4na računskoj mašini, pri čemu je 0 < x 1 < x 2 < x 3 < x 4 . Šta se može reći uslučaju kad su dati brojevi bliski, tj. x i = x 0 + δ i , δ i ≪ x 0 (i = 1,2,3,4)?Rešenje. Jednostavnosti radi, pretpostavimo da su brojevi x i (i = 1, 2,3, 4)zadati tačno, pa su njihove relativne greške r xi = 0(i = 1, 2,3, 4). Neka su relativnemašinske greške posle svake operacije sabiranja redom r 1 , r 2 , r 3 . Na osnovugrafa računskog postupka (1) koji je dat je na slici 1, dobijamo redomodakle jer T x 1 +x 2= r 1 , r T x 1 +x 2 +x 3= x 1 + x 2x 1 + x 2 + x 3r 1 + r 2 ,r T y = x 1 + x 2 + x 3x 1 + x 2 + x 3 + x 4„x1 + x 2x 1 + x 2 + x 3r 1 + r 2«+ r 3 ,(2) e T y = y · r T y = (x 1 + x 2 )r 1 + (x 1 + x 2 + x 3 )r 2 + (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 )r 3 .Ako je granica relativne mašinske greške r, tj. ako važi|r i | ≤ r (i = 1, 2,3),iz (2) sleduje|e T y | = (3x 1 + 3x 2 + 2x 3 + x 4 ) r ,odakle zaključujemo da je granica apsolutne greške rezultata y minimalna ukolikose sabiranje izvodi polazeći od najmanjih brojeva.Slično se može pokazati da kod sabiranja m pozitivnih brojeva x 1 , . . . , x m važiocenae T y = [(m − 1)x 1 + (m − 1)x 2 + (m − 2)x 3 + · · · + 2x m−1 + x m ] r .Neka su sada brojevi x 1 , x 2 , x 3 , x 4 pozitivni i bliski po vrednostima, tj. x i =x 0 + δ i , |δ i | ≪ x 0 (i = 1, 2,3,4). Korišćenjem gore dobijenih rezultata, zaključujemoda je|e T y | ≤ (9x 0 + 3|δ 1 | + 3|δ 2 | + 2|δ 3 | + |δ 4 |) r ,