Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

294 NUMERIČKO DIFERENCIRANJE I NUMERIČKA INEGRACIJATežinski koeficijenti A k interpolacione kvadrature (1) mogu se izraziti u obliku(videti [2, str. 138])(4) A k = 1 Z 1ω(x)ω ′ dx(x) −1 x − x k(k = 0, 1, . . . , n).Nije teško pokazati da je(5) ω(x) = T n+1 (x) − xT n (x),gde su T k Čebiševljevi polinomi prve vrste. Takod¯e,što se može predstaviti i u oblikupri čemu smo koristili sledeće relacijeω ′ (x) = 2x S n−1 (x) + `x 2 − 1´S ′ n−1(x),ω ′ (x) = n S n (x) − (n − 1) xS n−1 (x),S m+1 (x) = 2x S m (x) − S m−1 (x) ,`1 − x2´S ′ m(x) = (m + 1) S m−1 (x) − m x S m (x),`1 − x2´S m (x) = x T m+1 (x) − T m+2 (x),T m (x) = S m (x) − x S m−1 (x).Kako su S m (1) = (−1) m S m (−1) = m + 1 iS n (x k ) = sin(n + 1)θ ksin θ k= cos kπ = (−1) k (k = 1, 2, . . . , n − 1) ,na osnovu prethodnog zaključujemo da je(6) ω ′ (1) = (−1) n ω ′ (−1) = 2ni(7) ω ′ (x k ) = (−1) k n (k = 1, . . . , n − 1).Odredimo, najpre, koeficijent A 0 . Na osnovu (2), (4), (6) imamoA 0 = 1 Z `x2 1− 1´S n−1 (x)dx = 1 Z 1(x + 1) S n−1 (x)dx.2n −1 x − 1 2n −1