Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

128 NELINEARNE JEDNAČINE I SISTEMINajzad, iz kvadratne jednačine r 2 − 2r − 1 = 0 odred¯ujemo red konvergencijer = 1 + √ 2. Asimptotska konstanta greške A je data saf ′′′ (a)A =˛4f ′ (a) ˛√2/2.Literatura:G.V. Milovanović, M. S. Petković: On some modifications of third order methodfor solving equations. Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. Fiz. No678 – No 715 (1980), 63–67.5.1.20. Uporediti metod sečice i Newtonov metod, sa stanovišta njihoveprimene.Rešenje. U primeni iterativnih metoda pojavljuje se problem ,,optimalnog‘‘ izboraiterativne funkcije za rešavanje konkretne jednačine f(x) = 0. Svakako, ovdepojam ,,optimalan‘‘ treba shvatiti u osnovnom numeričkom smislu, tj. optimalanje onaj metod koji najbrže dovodi do rešenja sa zahtevanom tačnišću.Neka je (x k ) niz generisan iterativnim procesom koji ima red konvergencije r.Ako grešku u k–toj iteraciji označimo sa e k = x k − a, tada je(1) e k+1 = N k e r k (N k → C) ,gde je |C| asimptotska konstanta greške.Na osnovu (1) bi se mogao nametnuti pogrešan zaključak da ukoliko iterativniproces ima veći red konvergencije r, utoliko bi bio povoljniji za primenu, tj. bržebi dovodio do rešenja sa zahtevanom tačnošću. Med¯utim, pri ovome se gubi izvida iterativna funkcija na osnovu koje se generiše niz (x k ), koja upravo pokazujetendenciju komplikovanosti, tj. zahteva sve veći broj izračunavanja, sa porastomreda r. Dakle, zaključujemo da mera efikasnosti iterativnih procesa mora uzeti uobzir kako red konvergencije, tako i broj operacija u jednoj iteraciji.Za naše dalje razmatranje, aproksimirajmo (1) sae k+1 = C e r k .Pretpostavimo da je C > 0, čime se ništa ne gubi od opštosti razmatranja, i nekaje r > 1. Uporedimo efikasnost dva iterativna metoda (a) i (b). Odgovarajućegreške ovih metoda sue k+1 = C a (e k ) r a, η k+1 = C b (η k ) r b,