Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

48 OSNOVNI ELEMENTI NUMERIČKE MATEMATIKEd) Neprekidni slučaj.ϕ j (x) = e ijx , i 2 = −1, j = 0, ±1, ±2, ... , [a,b] = [−π,π], ω(x) ≡ 1.e) Diskretni slučaj.Rešenje.a) Za j ≠ k važi(ϕ j , ϕ k ) =ϕ j (x) = e ijx , j = 0,1,2, ... ,m, [a,b] = [0,2π],sx s = 2πm + 1 , ω s ≡ 1, s = 0,1, ... ,m.Z π0cos jxcos kx dx = 1 2Z π0[cos(j − k)x + cos(j + k)x] dx = 0.Takod¯e, važi ‖ϕ 0 ‖ 2 = π, ‖ϕ j ‖ 2 = (ϕ j , ϕ j ) = π/2 za j > 0.b) Odred¯ivanjemnX(ϕ j , ϕ k ) = cos jx s cos kx smože se pokazati da važid) Skalarni proizvods=0‖ϕ 0 ‖ 2 = n + 1, ‖ϕ j ‖ 2 =(ϕ j , ϕ k ) =Z π−π(n + 1)2e i(j−k)x dx,za j > 0.jednak je 0 za j ≠ k, a 2π za j = k. Dakle ‖ϕ j ‖ 2 = 2π.e) Za zadati izbor tačaka x s za funkcije ϕ j (x) važe relacije8