Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA 133Za f (x(1)) = f 1 dobija se2f 1 = 4 0.1562530.28125 5 .0.43750Nastavljajući iterativni proces (1), dobija se sledeći niz vektora2x(2) = 4 0.78981320.49662 5 , x(3) = 4 0.7852130.49662 5 , itd.0.369930.36992Ako se zadržimo na trećem koraku, približne vrednosti korena sux ∼ = 0.7852 , y ∼ = 0.4966 , z ∼ = 0.3699 ,dok je2f (x(3)) = 4 0.0000330.00006 5 .0.00003Primedba. Pri korišćenju metoda Newton–Kantoroviča (1) bilo je potrebno usvakom iterativnom koraku odrediti inverznu matricu W −1 (x) od W (x). Ovu nepogodnostmožemo otkloniti tako što bismo W −1 (x) odredili samo u prvoj iteracijii nadalje je zadržali u procesu izračunavanja, tj.(2) x(k + 1) = x(k) − W −1 (x(0)) f (x(k)) (k = 0,1, . . .).Korišćenjem ovako modifikovanog metoda Newton–Kantoroviča za rešavanje sistemanelinearnih jednačina datih zadatkom, uzimajući za početne vrednosti x(0) =y(0) = z(0) = 0.5, dobijamo sledeći niz vektora2x(1) = 4 0.87500320.50000 5 , x(2) = 4 0.72656320.49688 5 , x(3) = 4 0.8152630.49663 5 , itd.0.375000.370310.36995pri čemu je2f (x(3)) = 4 0.0481530.09614 5 .0.14429Treća iteracija po ovom metodu je, očigledno, mnogo ,,slabija‘‘ od treće iteracijepo metodu Newton–Kantoroviča. Dakle, sa jedne strane iterativni proces (2) zahtevamanje izračunavanja po iterativnom koraku od procesa (1), ali s druge straneima manju brzinu konvergencije.