Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

ANALIZA GREŠAKA, REKURZIVNA IZRAČUNAVANJA I SUMIRANJA 29Odgovarajući FORTRAN program ima jednostavan kod. Na primer, u D–aritmeticion izgleda:double precision dtg,x,pi,uk,del,cleb,sumadtg(x)=dsin(x)/dcos(x)pi=4*datan(1.d0)do 15 i=0,5n=10**iuk=2*n+1del=pi/ukcleb=1/uksuma=0do 10 k=1,nx=k*del10 suma=suma+dtg(x)/kcleb=cleb+2*suma/pi15 write(1,20) n,cleb20 format(I10,e17.7)stopendZbog ponašanja izraza pod sumom, kada je n veliko, tačnost sume je uvelikoodred¯ena tačnošću sabiraka u kojima je k veoma blisko n. Med¯utim, u timslučajevima, argument tangesa je vrlo blizak π/2. S obzirom da je (videti (4) uzadatku 2.1.8)(cond tan)(x) = x(1 + tan2 x), 0 < x < π/2 ,tan xto je tangens veoma slabo uslovljen za x blisko π/2. Zaista, ako je ε (>)0 veomamalo, tada je“ π”(cond tan)2 − ε ∼ π “ π”2 tan 2 − ε = π cos ε2 sin ε ∼ π 2ε .S obzirom da k = n odgovara ε =“ π”(cond tan)2 − ε ∼π2(2n + 1) ∼ π 4n , važiπ= 2n, n → +∞ .2π/(4n)Tako, na primer, za n = 10 5 , možemo očekivati gubitak od oko pet decimalnihcifara. To je potvrd¯eno dobijenim numeričkim rezultatima koji su prethodnoprikazani.