Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

114 NELINEARNE JEDNAČINE I SISTEMIza x ∈ U(a). Kako ξ 1 → a i ξ 2 → a, kada x → a, na osnovu (3) i poslednjejednakosti dobijamos obzirom da jeψ(x) − alimx→a (x − a) 3 = C f ′′ (a)f ′ (a) = 1 2Φ(x) − alim = 0 ,x→a x − a„ f ′′ « 2(a)f ′ ,(a)odakle zaključujemo da je dati iterativni proces sa redom konvergencije r = 3 iasimptotskom konstantom greškeC 3 = 1 2„ f ′′ « 2(a)f ′ .(a)Iterativna funkcija (1) sa redom konvergencije r = 3 je formirana na osnovuNewtonove iterativne funkcije koja ima red konvergencije r = 2. Dakle, iterativnafunkcija (1) ubrzava konvergenciju Newtonove iterativne funkcije. Može se datii generalnije tvrd¯enje: Neka f ∈ C 2 [α, β], f ′ (a) ≠ 0 i neka iterativni procesx k+1 = Φ(x k ) ima red konvergencije r i asimptotsku konstantu greške |C r |. Tadaiterativni procesx k+1 = ψ(x k ) = Φ(x k ) − f (Φ(x k))f ′ (x k )(k = 0,1, . . . ),za rešavanje jednačine f(x) = 0, ima red konvergencije najmanje r +1 i asimptotskukonstantu greške |C r+1 |, gde jei δ ij Kroneckerova delta.C r+1 = C rf ′′ (a)f ′ (a)„1 − 1 2 C r δ 1r«Dokaz ove teoreme se može izvesti slično kao što je to učinjeno pri rešavanjuovog zadatka.Literatura:P. Pielorz: O pewnych dwupunktowych metodach podwyzszani wykladnika zbieznoscimetod iteracyjnych. Zeszyty naukowe politechniki Šlaskiej. Ser. Mat.Fiz. 26 (1975), 53–63.J.F. Traub: Iterative Methods for the Solution of Equations. Englewood Cliffs,N.J., Prentice–Hall, Inc. 1964.G.V. Milovanović, M. A. Kovačević: The modification of one method for acceleratingthe convergence of the iterative processes. Univ. Nišu Zb. Rad. Gradj.Fak. Niš 3 (1982), 231–236.