Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

38 OSNOVNI ELEMENTI NUMERIČKE MATEMATIKEKako je a 0 = 0, b 1 = a 1 = 1, b 2 = −2x, a 2 = 2 + x, b 3 = b 4 = b 5 = x 2 ,a 3 = 6, a 4 = 10, a 5 = 14, primenom rekurentnih relacija (1), dobijamo redomR 1 = R 1 (x) = 1 1 ,R 2 = R 2 (x) = 2 + x2 − x ,R 3 = R 3 (x) =12 + 6 x + x212 − 6 x + x 2 ,R 4 = R 4 (x) = 120 + 60 x + 12 x2 + x 3120 − 60 x + 12 x 2 − x 3 ,R 5 = R 5 (x) = 1680 + 840 x + 180 x2 + 20 x 3 + x 41680 − 840 x + 180 x 2 − 20 x 3 + x 4 .Primetimo da dobijene aproksimacije R k (x) zadovoljavaju uslovR k (x)R k (−x) = 1 .Može se pokazati da racionalna funkcija R k (x) ispunjava pomenuti uslov ako isamo ako se ona može predstaviti u oblikuR(x) = 1 −2xT (x 2 ) + x ,gde T(x 2 ) označava racionalnu funkciju po x 2 . Za dokaz ovog tvrd¯enja trebanajpre dokazati da takva racionalna funkcija mora imati reprezentaciju u oblikuR(x) = P(x)/P(−x), gde je P(x) algebarski polinom. Nije teško videti da je tadaT(x 2 ) = xP(−x) + P(x)P(−x) − P(x) .Na primer, za funkciju R 4 (x), imamo P(x) = 120 + 60 x + 12 x 2 + x 3 , pa jeodgovarajuća funkcija T(x 2 ) data saDakle, dobijamoT(x 2 ) = −12 x2 + 10x 2 + 60 .R 4 (x) = 1 −Na primer, na osnovu prethodnog,2xx − 12 x2 + 10x 2 + 60e 0.5 ∼ = R4 (0.5) = 1.6487214 ,.