Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

40 OSNOVNI ELEMENTI NUMERIČKE MATEMATIKESukcesivnom primenom Euler–Abelove transformacije dva puta, odreditif(−1) sa tačnošću 5 · 10 −4 . Koliko je članova reda potrebno kod direktnogsumiranja za postizanje iste tačnosti?Rešenje. Neka je dat stepeni red(2) f(x) =+∞ Xk=0a k x k ,čiji je poluprečnik konvergencije R = 1. 11) Sukcesivnom primenom Euler–Abelovetransformacije m puta na red (2) dobijamo(3) f(x) = 1 m−1 X„∆ k a 01 − xk=0x1 − x(videti [1, str. 48–51]). Kako je za dati red (1)to jeR −1 =limk→+∞∆a 0 = a 1 − a 0 = 1 ,« k „ « m +∞ x X+∆ m a1 − xk x kk=01(k + 1) 21k 2 = 1 , a 0 = 0 , a k = 1 (k = 1,2, . . . ),k2 ∆ 2 a 0 = ∆(∆a 0 ) = ∆(a 1 − a 0 ) = ∆ a 1 − ∆ a 0 = a 2 − a 1 − 1 = − 7 4 ,1∆ a k = a k+1 − a k =(k + 1) 2 − 1k 2 = − 2k + 1k 2 (k + 1) 2 (k = 1,2, . . .),∆ 2 2k + 3a k = ∆ a k+1 − ∆ a k = −(k + 1) 2 (k + 2) 2 + 2k + 1k 2 (k + 1) 2= 6 k2 + 12 k + 4k 2 (k + 1) 2 (k + 2) 2 (k = 1, 2, . . .).11) Primetimo da ako stepeni red (2) ima poluprečnik konvergencije R(< +∞) tada,s obzirom naf(x) = f(yR) =+∞∑k=0+∞∑a k (yR) k a k R k y k =k=0+∞∑k=0b k y k = F(y) ,gde je b k = a k R k , stepeni red F(y) ima poluprečnik konvergencije jednak jedinici.