Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

100 NUMERIČKI METODI U LINEARNOJ ALGEBRIDakle, zaključujemo da je uslov (6) potreban i dovoljan za konvergenciju iterativnogprocesa (1).4.2.14. Koristeći iterativni proces (1) iz zadatka 4.2.13, naći inverznumatricu A −1 matrice ⎡A = ⎣ 3 1 6⎤2 1 3 ⎦ .1 1 1Za X 0 uzeti⎡⎤−1.2 2.9 −1.8X 0 = ⎣ 0.7 −1.4 1.9 ⎦ .0.6 −1.2 0.6Rešenje. Pomenuti iterativni proces glasi(1) X n+1 = X n (2I − AX n ) (n = 0,1, . . .).S obzirom da je230.3 −0.1 −0.1C 0 = I − AX 0 = 4 −0.1 0.2 −0.1 5 ,−0.1 −0.3 0.3na osnovu rezultata iz zadatka 4.2.13, mogli bismo sada ispitati konvergencijuprocesa (1) nalaženjem sopstvenih vrednosti matrice C 0 . Med¯utim, s obzirom daje, na primer ‖C 0 ‖ 1 = 0.6 < 1, što je dovoljan uslov za konvergenciju matričnogreda (5) iz zadatka 4.2.13 ka (I − C 0 ) −1 (videti [1, str. 222-226]), zaključujemo daproces (1) konvergira za ovako izabrano X 0 .Dakle, primenimo proces (1) sa datom matricom X 0 . Za kriterijum završetkaiterativnog procesa (1) možemo uzeti, na primer, ‖I−AX n ‖ < ε, gde je ε zahtevanatačnost. Dobijamo23 23−1.6700 4.1400 −2.5100−1.9440 4.8560 −2.9184X 1 = 4 0.8600 −2.3200 2.5400 5 , X 2 = 4 0.9712 −2.8784 2.9200 5 ,0.8400 −1.6800 0.8400 0.9744 −1.9488 0.974423 23−1.9984 4.9960 −2.9977−2.0000 5.0000 −3.0000X 3 = 4 0.9989 −2.9962 2.9976 5 , X 4 = 4 1.0000 −3.0000 3.0000 5 .0.9993 −1.9987 0.9993 1.0000 −2.0000 1.0000S obzirom da je ‖I − AX 4 ‖ = 0, zaključujemo da je A −1 = X 4 .