Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

PROBLEM NAJBOLJIH APROKSIMACIJA 255Istovremeno, ovim jednostavnim postupkom dobili smo polinom Q n (x) koji, uskupu polinoma ne višeg stepena od n-tog, predstavlja najbolju srednje-kvadratnuaproksimaciju na segmentu [−1, 1] sa Čebiševljevom težinskom funkcijom √ 1 . 1−x 2Ako stavimo(f, g) =Z 1−11√1 − x 2 f(x)g(x)dx,na osnovu (1), vidimo da za koeficijente polinoma P n+1 (x) važitj.(P n+1 , T k ) = C k (T k , T k ) (k = 0,1, . . . , n),C k = (P n+1, T k )(T k , T k )(k = 0,1, . . . , n),što su poznate formule za koeficijente u (2) pri sprovod¯enju postupka srednjekvadratneaproksimacije nad funkcijom x ↦→ P n+1 (x) (naravno na [−1, 1] sa težinomx ↦→ 1/ √ 1 − x 2 ).No, polinom Q n (x) predstavlja, u skupu polinoma stepena ne višeg od n-tog,isto tako i najbolju mini-max aproksimaciju za polinom x ↦→ P n+1 (x) na segmentu[−1, 1].Zaista, funkcija greške koju činimo kada polinom P n+1 (x) aproksimiramo polinomomQ n (x) je data saδ n (x) = P n+1 (x) − Q n (x) = C n+1 T n+1 (x).Čebiševljev polinom se može napisati u obliku T n+1 (x) = cos[(n + 1) arccos x]za x ∈ [−1, 1], pa jeT n+1 (x) = ∓1za x k = −coskπn + 1(k = 0, 1, . . . , n + 1),pri čemu je −1 = x 0 < x 1 < · · · < x n+1 = 1. Na osnovu ovoga, zaključujemo dana [−1, 1] postoje n + 2 tačke u kojima je T n+1 (x k ) = (−1) n+k+1 . Dakle,δ n (x k ) = (−1) n+k+1 C n+1 i max |δ n (x)|x∈[−1,1]= |C n+1 |,pa na osnovu teoreme o Čebiševljevoj alternansi (videti [2, str. 118–119]) zaključujemoda je Q n (x) najbolja mini-max aproksimacija za P n+1 (x) (x ∈ [−1, 1]).Iskoristimo sada ovo opšte razmatranje na rešavanje našeg zadatka.S obzirom da je (videti zadatak 6.2.16)x 3 = 1 4 (3T 1(x) + T 3 (x))