Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

220 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJADakle, za k = 2n − 1 je a 2n−1 =aproksimaciona funkcijaΦ(x) = 4 π[(m+1)/2]Xn=14π(2n − 1) 2 , a za k = 2n je a 2n = 0, pa je1(2n − 1) 2 T 2n−1(x) (|x| ≤ 1) .6.2.6. U skupu polinoma stepena ne višeg od m, naći najbolju srednjekvadratnuaproksimaciju funkcije x ↦→ f(x) = |x|, na segmentu [−1,1] satežinom x ↦→ p(x) = ( 1 − x 2) −1/2.Rešenje. Ako aproksimacionu funkciju Φ predstavimo u oblikuf(x) ∼ Φ(x) =mXa k T k (x),gde su T k (x) Čebiševljevi polinomi, koeficijente a k odred¯ujemo na osnovuk=0(1) a k = (f, T k)(T k , T k )(k = 0,1, . . . , m) .Kako je T 0 (x) = 1 ina osnovu (1) imamo(T k , T k ) = ‖T k ‖ 2 =( π k = 0 ,π2k ≠ 0 ,a 0 = 1 πa k = 2 πZ 1−1Z 1−1|x|√1 − x 2 dx = 0 ,1√1 − x 2 |x| T k(x)dx(k = 1, . . . , m).S obzirom na parnost funkcija x ↦→ |x|, x ↦→ T 2n (x) i neparnost funkcije x ↦→T 2n−1 (x), dobijamoa 0 = 2 πZ 10x√1 − x 2 dx = − 2 p1 − xπ˛˛˛˛210= 2 π ,a 2n−1 = 0 ,a 2n = 4 Z 1x√π 0 1 − x 2 T 2n(x)dx = 4 Z 1x√ cos(2n arccos x) dx.π 0 1 − x 2