Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

INTERPOLACIJA FUNKCIJA 1912 ◦ Kod k-te konačne razlike, greška učestvuje po zakonu binomnih koeficijenatauz alternativnu promenu znaka, tj.! !kε , − k ε ,0 1!kε , . . . , (−1) k2!kε .kTakod¯e, apsolutna vrednost maksimalne greške u k-toj konačnoj razlici ` k[k/2]´|ε|vrlo brzo raste sa redom razlike.3 ◦ Za svaku konačnu razliku ∆ k važe jednakosti:! ! !kε − k ε + k ε − · · · + (−1) k0 1 2!kε = (1 − 1) k ε = 0ki! ! !k|ε| + k |ε| + k |ε| + · · · +0 1 2k k!|ε| = (1 + 1) k |ε| = 2 k |ε| .U tablici konačnih razlika figurišu vrednosti funkcije f sa odred¯enim, fiksiranim, obrojem decimalnih mesta. Akose funkcija f nad skupomvrednostin(x k , f k ) k=0,miz tablice ponaša kao polinom stepena r (< m), tada će konačne razlike reda rbiti konstantne, a konačne razlike reda r+1, r+2, . . . , m će biti jednake nuli (iliće biti približno jednake nuli s obzirom da su vrednosti funkcije koje su ušle utablicu eventualno zaokružene). (Primetimo da funkcija f ne mora biti polinom,a da iskaže opisano ponašanje. Na primer, ako za funkciju f postoji Taylorovpolinom pri čemu je odgovarajući ostatak za svako x k iz tablice toliko mali da neutiče na decimale koje figurišu u tablici, tada je funkcija f praktično tabeliranavrednostima iz Taylorovog polinoma.)Svakako, ako postoji greška u vrednosti funkcije u nekom od interpolacionihčvorova, prethodni princip će biti narušen u polju prostiranja greške, kako smoprethodno videli, što nam predstavlja indikaciju o postojanju greške.Zakon prostiranja greške u tablici konačnih razlika, koji je razmatran, dajemogućnost da se u nekim slučajevima pronad¯e izvor greške i otkloni.6.1.28. Ispraviti grešku u vrednosti funkcije u jednom od interpolacionihčvorova, ako je dato1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8−1.020 −0.692 −0.076 0.872 2.212 3.980 6.228 9.004 12.356 16.332Rešenje. Formirajmo tablicu konačnih razlika, na osnovu zadatih podataka: