Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

80 NUMERIČKI METODI U LINEARNOJ ALGEBRIRešenje. Ako od (1) oduzmemo (2), dobijamox (k) − x = B`x (k−1) − x´a dalje, ako označimo vektor greške u k–toj iteraciji sa ε (k) = x (k) − x, imamo(4) ε (k) = Bε (k−1) .Ako stavimo da je δ (k) = ε (k) − ε (k−1) , tada je(5) ε (k−1) = ε (k) − δ (k) .Na osnovu (4) i (5), imamoodakle jeε (k) = B`ε (k) − δ (k)´,ε (k) = − (I − B) −1 B δ (k) ,s obzirom da postoji inverzna matrica matrice (I − B), što sleduje iz uslova da je‖B‖ < 1.Ako koristimo normu matrice saglasnu sa normom vektora, iz poslednje jednakostidobijamo(6) ‖ε (k) ‖ ≤ ‖(I − B) −1 B‖ ‖δ (k) ‖ .Iz jednakosti(I − B) −1 = I + B + B 2 + · · · (‖B‖ < 1)sledujetj.(I − B) −1 B = B + B 2 + · · · ,(7) ‖(I − B) −1 B‖ ≤ ‖B‖ + ‖B‖ 2 + · · · = ‖B‖1 − ‖B‖ .Kako je δ (k) = ε (k) − ε (k−1) = x (k) − x (k−1) , na osnovu (6) i (7) dobijamošto je i trebalo dokazati.‖x (k) − x‖ ≤‖B‖1 − ‖B‖ ‖x(k) − x (k−1) ‖ ,