Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

58 OPŠTA TEORIJA ITERATIVNIH PROCESAi s obzirom da je Φ ′ (a) = −e −a = −a ≠ 0 (tj. proces (1) je sa linearnom konvergencijom),sleduje (videti [1, str. 194])x ∗ k(2) lim− ak→+∞ (x k − a) 2 = 1 Φ ′′ (a)Φ ′ (a)2 Φ ′ (a) − 1 .Kako je Φ ′ (x) = −e −x , Φ ′′ (x) = e −x , a s obzirom da je a = Φ(a) = e −a , imamoΦ ′ (a) = −a, Φ ′′ (x)(a) = a, pa je na osnovu (2),limk→+∞x ∗ k − a(x k − a) 2 = 1 2a 21 + a .Inače, prvih nekoliko članova niza {x k }, koji se dobija na osnovu (1) i niza {x ∗ k },koji se generiše prema formuli (videti [1, str. 191]),su dati u sledećoj tabelix ∗ k = x k+2 − (x k+2 − x k+1 ) 2x k+2 − 2x k+1 + x k,k x k x ∗ k0 0.5 0.567621 0.60653 0.567302 0.54524 0.567193 0.579704 0.56006Primetimo da x ∗ 2 aproksimira koren jednačine x e x − 1 = 0 sa četiri tačnedecimale.3.2.3. Neka se niz (x k ) k∈N formira na sledeći način:(1) x k+1 = 1 2 cos x k, x 0 = 1, k = 0,1,2, ... .a) Ispitati konvergenciju ovog niza; b) Kako ubrzati njegovu konvergenciju?Rešenje. a) Ovde imamox = φ(x), φ(x) = 1 2cos x, φ : [0, 1] → [0, 1],φ ′ (x) = − 1 2 sin x, ˛˛φ′ (x)˛˛