Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA 141Dakle,x 1 = x 0 + 0.74074 = 0.74074, y 1 = y 0 + 0.04630 = 0.04630.Dalje, za k = 1, (7) se svodi na sistem jednačina20(x 2 − x 1 ) + 4.37037(y 2 − y 1 ) = −0.00858,13.925(x 2 − x 1 ) − 20.37037(y 2 − y 1 ) = −2.18613,čija determinanta je −468.25, a rešenje jetj.x 2 − x 1 = −0.02078, y 2 − y 1 = 0.09312,x 2 = x 1 + 0.02078 = 0.71996, y 2 = y 1 + 0.09312 = 0.13942.U sledećoj tabeli dajemo vrednosti x k , y k za k = 0, 1,2,3, 4 i vrednosti determinantesistema (7). Kao i ranije, ako koristimo aritmetiku samo sa pet cifara, daljimiteracijama nije moguće dobiti tačnije aproksimacije.k x k y k det(W(x k , y k ))0 0.00000 0.00000 −432.001 0.74074 0.04630 −468.252 0.71996 0.13942 −494.923 0.71882 0.13711 −492.024 0.71882 0.13711 −492.02Primedba. Upored¯ivanje tabela pokazuje da metod Newton–Kantoroviča konvergirabrže od metoda proste iteracije. Naravno, razlog tome je kvadratna konvergencijametoda Newton–Kantoroviča u odnosu na linearnu konvergenciju metodaproste iteracije, koji uz to ima q blisko jedinici.5.2.4. Odrediti ekstrem funkcijef(x,y) = 3x 3 + 2y 2 + xy 2 − 10x − 5y − 1,koji leži u okolini tačke (1,1).Rešenje. Potrebno je rešiti sistem jednačina∂f∂x = 0,∂f∂y = 0,