Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

INTERPOLACIJA FUNKCIJA 197Na osnovu (3) zaključujemo da jea 0 = f(0) ,a k = 10 k 10 Xn=k∆ n f(0)n!S (k)n (k = 1, 2, . . . , 10) ,što zajedno sa (4) daje formulu za približno izračunavanje g(y).6.1.31. Formirati Hermiteov interpolacioni polinom na osnovu sledećihpodatakax −1 0 2f(x) 0 −7 3f ′ (x) −8 −5 55f ′′ (x) 10Rešenje. Kako je dato sedam podataka, interpolacioni polinom će biti stepenane više od šestog. Potražimo ga u obliku(1) H 6 (x) = P 2 (x) + (x + 1)(x − 2)x H 3 (x),gde je P 2 (x) Lagrangeov interpolacioni polinom formiran na osnovu vrednosti funkcijef u tačkama x = −1, x = 0, x = 2, tj.P 2 (x) = −7(x + 1)(x − 2) (x + 1)(x − 0)+ 3(0 + 1)(0 − 2) (2 + 1)(2 − 0) = 4x2 − 3x − 7 ,a H 3 (x) za sada nepoznat polinom ne višeg stepena od tri.Diferenciranjem (1) dobijamoH ′ 6(x) = 8x − 3 + `3x 2 − 2x − 2´H 3 (x) + (x + 1)(x − 2)x H ′ 3(x),odakle, s obzirom na interpolacioni zahtev H ′ 6(−1) = f ′ (−1) = −8, H ′ 6(0) =f ′ (0) = −5 i H ′ 6(2) = f ′ (2) = 55, sleduje(2) H 3 (−1) = 1 , H 3 (0) = 1 , H 3 (2) = 7 .Kako je daljeH ′′6 (x) = 8 + (6x − 2) H 3 (x) + (6x − 4x − 4)H ′ 3(x) + (x + 1)(x − 2)xH ′′3 (x)i H ′′6 (0) = f ′′ (0) = 10, dobijamo(3) H ′ 3(0) = −1 .