Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

92 NUMERIČKI METODI U LINEARNOJ ALGEBRIRezultati dobijeni metodom proste iteracije prikazani su u prvoj, a Gauss-Seidelovim metodom u drugoj tabeli.x (0) x (1) x (2) x (3) . . . x ∗234 0 0 5024 1 0.8−0.93524 0.950.98−1.043524 1.0150.993−1.0043524 1 1−135x (0) x (1) x (2) x (3) . . . x ∗234 0 0 5024 1 0.9−0.833524 0.9630.9863−0.9623524 1.00460.9991−0.99373524 1 1−135Primetimo da Gauss–Seidelove iteracije nešto brže konvergiraju ka tačnom rešenjuu ovom slučaju.b) Procenimo sada teoretski broj iteracija k potrebnih da bi bila ispunjenanejednakost ‖x ∗ − x (k) ‖ ∞ < 10 −4 . Pri izboru x (0) = 0 važi (videti [1, str. 253])‖x ∗ − x (k) ‖ ∞ ≤‖B‖k ∞1 − ‖B‖ ∞‖β‖ ∞ .U našem slučaju je ‖B‖ ∞ = 0.7, ‖β‖ ∞ = max{1, 0.8, 0.9} = 1, pa traženizahtev postaje‖x ∗ − x (k) ‖ ∞ ≤ 0.7k1 − 0.7 · 1 < 10−4 ,odakle sleduje 0.7 k < 0.3 · 10 −4 , tj.k >−4 + log 0.3log 0.7≈ 29.198.Dakle, da bismo ostvarili željenu tačnost potrebno je (na osnovu dobijene ocene)odrediti x (30) metodom proste iteracije.4.2.8. Pokažimo da sistem linearnih jednačina iz zadatka 4.2.3 nije mogućerešiti Gauss–Seidelovim iterativnim metodom.Rešenje. Dati linearni sistem je oblikax = Bx + β,