Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

302 NUMERIČKO DIFERENCIRANJE I NUMERIČKA INEGRACIJAiR(x 4 ) = 1 5`b5 − a5´ − 1 3 (b − a) „a 4 +“ « 4 a + b+ b 4”2+ 1 6 (b − a)2`b 3 − a 3´ =(b − a)580zaključujemo da formula (1) ima algebarski stepen tačnosti p = 3. Pod pretpostavkomda f ∈ C 4 [a, b], ostatak se može predstaviti u oblikuR(f) = R(x4 )4!f (4) (ξ) =(b − a)51920Za a = 0 i b = 1, formula (1) postajeZ 10f(x)dx = 1 30f (4) (ξ) (a < ξ < b) .„ “ 1” «f(0)+f +f(1) − 1 “”f ′ (1)−f ′ (0) + 12 241920 f(4) (ξ),gde je ξ ∈ (0,1). Primenom ove formule na dati integral dobijamoZ 1r√1 + x dx ∼ 1 3 = 1 +3 2 + √ !2 − 1 „ 124 2 √ 2 − 1 «∼= 1.21909 .2Primetimo da je tačna vrednost integralaZ 10√ 2“1 + xdx = 2 √ 2 − 1”∼= 1.2189514 ,3što znači da je apsolutna greška manja od 1.4 · 10 −4 .S obzirom da jef (4) (x) = − 1516 (1 + x)−7/2 i˛ f(4) (x)˛˛ ≤1516na osnovu ostatka kvadraturne formule, dobijamo ocenu greške|R(f)| ≤ 1516 · 11920 < 4.9 · 10−4 .Očigledno, stvarna greška je manja od ove granice.(x ∈ [0, 1]),7.2.17. Sukcesivnom zamenom (a,b) = ( i−1m)(i = 1,... ,m) u kvadraturnojformuli (1) iz prethodnog zadatka, naći kompozitnu formulu zaintegral∫ 10f(x)dx i oceniti grešku.m , i