Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

352 PRIBLIŽNO REŠAVANJE OBIČNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAČINALinearni k-koračni metod ima interval relativne stabilnosti (α, β), ako za ¯h ∈(α, β) važi |r 1 | ≥ |r i | (i = 2, . . . , k). Za dati metod (k = 2), tražimo interval za ¯htako da važi |r 1 | ≥ |r 2 |.Jednakost |r 1 | = |r 2 | može eventualno da nastupi za r 1 = −r 2 , s obzirom da sur 1 i r 2 realne i različite nule polinoma stabilnosti. Dakle, za r 1 = −r 2 imamor 1 + r 2 = 0 =⇒ 0 = − B A = 1 + a + 2 3 ¯h (1 − a)1 − ¯h12 (5 + a) =⇒ ¯h = 3 2a + 1a − 1 < 0 .S obzirom da su r 1 ≡ r 1 (¯h) i r 2 ≡ r 2 (¯h) neprekidne funkcije, a„za ¯h = 0 je |r 1 «| =3 a + 11 > |r 2 | = |a|, zaključujemo da je interval relativne stabilnosti2 a − 1 , +∞ .b) Za dati metod kod koga je a = −3/4, interval apsolutne stabilnosti (A.S.) iinterval relativne stabilnosti (R.S.) po ¯h su dati sa(A.S.) I 1 =„6 a + 1a − 1«a=−3/4, 0 =„− 6 «7 , 0 ,„ 3(R.S.) I 2 =2„a + 1a − 1«a=−3/4, +∞ = − 3 «14 , 0 .S obzirom da je za dati model problem ¯h = −20 h, za intervale stabilnosti po hdobijamo(A.S.) h < 3 70 ∼ = 0.04285 ,(R.S.) h < 3280 ∼ = 0.01071 .Primetimo da je strožiji uslov za relativnu stabilnost.Primenimo razmatrani dvokoračni metod, za a = −3/4, na dati model problem.Potrebne su nam dve startne vrednosti od kojih je jedna data zadatkom y 0 =y(0) = 1, a drugu odred¯ujemo Taylorovim metodom, tj. u ovom slučaju jey 1 =„1 − 20 h + 200 h 2 − 4000 «h 3 .3Inače, tačno rešenje model problema je y(x) = e −20x .